Jens Heber

Algebraische Topologie im Wintersemester 2014/15

Veranstalter: Prof. Dr. J. Heber
Ansprechpartner für den Übungsbetrieb:
Lothar Schiemanowski
Termin / Ort der Vorlesung:
Mo 10:15 - 11:45 Uhr; Do 14:15 - 15:45 Uhr (LMS4 - R. 312).
Beginn: Di, 27.10.2014.

Vorlesung (UnivIS)             

 

Vorkenntnisse: Erstes Studienjahr und Algebra I.

 

Prüfung: Wird noch bekannt gegeben.

 

Vorlesungsinhalte:

Zu Beginn werden Konzepte der mengentheoretischen Topologie wiederholt (topologische / metrische Räume, Zusammenhang, Kompaktheit, Stetigkeit, …). Es folgt eine Einführung in die Algebraische Topologie, ein wichtiges Hilfsmittel für Geometrie und Analysis, welches die Brücke zur Algebra schlägt:

Untersuchungsgegenstand der Algebraischen Topologie sind Hilfsmittel, um topologische Räume als unterschiedlich (d. h. nicht homöomorph) erkennen zu können, sogenannte ''Invarianten''. Meist handelt es sich um algebraische Größen (Gruppen, Vektorräume, Ringe, ...), die sich topologischen Räumen zuordnen lassen und die jeweils für ''gleiche'' Räume übereinstimmen müssen. Zur Unterscheidung zweier Räume reicht es dann aus, irgendeine Invariante zu finden, in der die beiden nicht übereinstimmen.

Die im Rahmen dieser Vorlesung untersuchten Invarianten sind u. a. die ''Homologiegruppen'' eines topologischen Raums. Sie zählen zum Beispiel die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten oder der ''Löcher'' (unterschiedlicher Dimension). Die Homologietheorie hat viele weitere wichtige Anwendungen, z. B. den Brouwerschen Fixpunktsatz (jede stetige Abbildung eines abgeschlossenen euklidischen Balls in sich hat einen Fixpunkt) oder den ''Igelsatz'' (stetige, tangentiale Vektorfelder auf geraddimensionalen Sphäre haben stets eine Nullstelle). Einen weiteren Schwerpunkt der Vorlesung bilden „Fundamentalgruppen“ topologischer Räume.

Die verwendeten Methoden sind geometrischer und zum Teil algebraischer Natur, setzen aber keine geometrischen Vorkenntnisse voraus.

 

Literatur:

  • G. E. Bredon: Topology and Geometry. Springer 1993.
  • T. tom Dieck: Topologie. De Gruyter 1991.
  • M. J. Greenberg: Lectures on Algebraic Topology. Benjamin 1971.
  • A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002.
  • K. H. Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser 1989.
  • J. W. Vick: Homology Theory. Springer 1994.

 

Notizen:

pp-01-20 pp-21-42 pp-43-61 pp-62-77 pp-78-101

pp-102-120 pp-121-134 pp-135-148 pp-149-170      

 

Aufgabenblätter:

Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6

Serie 7 Serie 8 Serie 9 Serie 10 Serie 11