Jens Heber

Differentialgeometrie im Wintersemester 2012/13

Veranstalter: Prof. Dr. J. Heber

 

Vorlesungsinhalte:


Die Vorlesung setzt die Vorlesung ''Kurven und Flächen'' des Sommersemesters 2012 fort, macht aber zugleich thematisch einen Neuanfang im abstrakteren Rahmen. Kenntnisse zur Kurven- und Flächentheorie und eine dadurch geschulte Anschauung sind nützlich für den Einstieg aber nicht unbedingt erforderlich für den Besuch dieser Vorlesung.

Die Riemannsche Geometrie ist eine bedeutende Verallgemeinerung der inneren Geometrie der Flächen, behandelt also diejenigen geometrischen Konzepte,
die sich allein in Termen der ersten Fundamentalform ausdrücken lassen. In der Riemannschen Geometrie werden Flächen durch höherdimensionale
Räume (''Mannigfaltigkeiten'') ersetzt und Messungen (von Kurvenlängen, Schnittwinkeln, Abständen, Volumina, ...) basieren auf der Riemannschen Metrik,
welche die erste Fundamentalform verallgemeinert.

Die Vorlesung entwickelt die Grundbegriffe differenzierbarer Mannigfaltigkeiten und der Riemannschen Geometrie, insbesondere die zentralen Krümmungskonzepte. In den Anwendungen gilt das Hauptaugenmerk den Beziehungen zwischen Krümmungen als lokalen Größen und der Gestalt eines
Riemannschen Raums ''im Großen'' (u. a. den Sätzen von Hopf-Rinow, Bonnet-Myers, Hadamard-Cartan).

Die höherdimensionale Differentialgeometrie ist sehr flexibel einsetzbar und hat viele Querverbindungen zu anderen Disziplinen, innermathematisch vor allem zur Analysis und Topologie. Sie liefert aber zum Beispiel auch der Physik die Sprache und Modelle für Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie.

Modulbeschreibungen Differentialgeometrie

 

Vorkenntnisse: Module des 1. Studienjahrs und Analysis III.

 

Literatur:

  • M. Do Carmo: Riemannian Geometry. Academic Press.
  • J. Cheeger und D. Ebin: Comparison Theorems in Riemannian Geometry. North Holland.
  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine: J.: Riemannian Geometry. Springer.
  • H. Karcher: Riemannian Comparison Constructions. In: Global differential geometry, 170 - 222, MAA Stud. Math. 27, 1989.
  • W. Klingenberg: Riemannian Geometry. de Gruyter.
  • B. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry:With Applications to Relativity. Academic Press.
  • P. Petersen: Riemannian Geometry. Springer.
  • T. Sakai: Riemannian Geometry. American Mathematical Society.
 

Aufgabenblätter: Blatt 01 Blatt 02 Blatt 03 Blatt 04 Blatt 05 Blatt 06 Blatt 07 Blatt 08 Blatt 09 Blatt 10 Blatt 11