Jens Heber

Differentialgeometrie im Wintersemester 2015/16

Veranstalter: Prof. Dr. J. Heber

Ansprechpartner für den Übungsbetrieb:
Malte Kliemann, LMS4 - R.405, (0431) 880-3669, kliemann (at) math.uni-kiel.de .

Termin / Ort der Vorlesung:
Di, 10:15 - 11:45 Uhr (LMS4 - R.526); Do, 12:15 - 13:45 Uhr (LMS4 - R.526).
Beginn: Mo, 27.10.2015.

 

Klausuren:

1. Prüfungszeitraum: Do, 11.02.2016, 10:00 - 11:45 Uhr (LMS6 - R.11[Gr.Hörsaal PC]).
Einsichtnahme: Mo, 15.02.2016, 09:00 - 10:00 Uhr (LMS4 - R. 424).
2. Prüfungszeitraum: Do, 31.03
.2016, 10:00 - 11:45 Uhr (LMS6 - R.10[Steinitz-Hörsaal]).

Termine (Prüfungszeiträume, An- und Abmeldungen)      

 

Vorlesungsinhalte:

Die Vorlesung setzt die Vorlesung ''Kurven und Flächen'' des Sommersemesters 2015 fort, macht aber zugleich thematisch einen Neuanfang im abstrakteren Rahmen. Kenntnisse zur Kurven- und Flächentheorie sind nützlich für den Einstieg aber nicht unbedingt erforderlich.

Die Riemannsche Geometrie ist eine umfassende Verallgemeinerung der inneren Geometrie der Flächen (welche geometrische Konzepte behandelt, die sich mittels der ersten Fundamentalform beschreiben lassen). In der Riemannschen Geometrie werden Flächen durch höherdimensionale Räume (''Mannigfaltigkeiten'') ersetzt und Messungen (von Kurvenlängen, Schnittwinkeln, Abständen, Volumina, ...) basieren auf der Riemannschen Metrik, welche die erste Fundamentalform verallgemeinert.

Die Vorlesung entwickelt die Grundbegriffe differenzierbarer Mannigfaltigkeiten und der Riemannschen Geometrie, insbesondere die zentralen Krümmungskonzepte. In den Anwendungen gilt das Hauptaugenmerk den Beziehungen zwischen Krümmungen als lokalen Größen und der Gestalt eines Riemannschen Raums ''im Großen'' (u. a. den Sätzen von Hopf-Rinow, Bonnet-Myers, Hadamard-Cartan).

Die höherdimensionale Differentialgeometrie ist sehr flexibel einsetzbar und hat viele Querverbindungen zu anderen Disziplinen, innermathematisch vor allem zur Analysis und Topologie. Sie liefert aber zum Beispiel auch der Physik die Sprache und Modelle für Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie.

Modulbeschreibungen Differentialgeometrie

 

Vorkenntnisse: Erstes Studienjahr und Analysis III (Differentialgleichungen, Lebesgue-Integral).

 

Literatur:

  • M. Do Carmo: Riemannian Geometry. Academic Press.
  • J. Cheeger und D. Ebin: Comparison Theorems in Riemannian Geometry. North Holland.
  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine: J.: Riemannian Geometry. Springer.
  • H. Karcher: Riemannian Comparison Constructions. In: Global differential geometry, 170 - 222, MAA Stud. Math. 27, 1989.
  • W. Klingenberg: Riemannian Geometry. de Gruyter.
  • B. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry:With Applications to Relativity. Academic Press.
  • P. Petersen: Riemannian Geometry. Springer.
  • T. Sakai: Riemannian Geometry. American Mathematical Society.

 

Notizen:

pp-01-19 pp-20-43 pp-44-66 pp-67-83 pp-84-103 pp-104-130       

 

Aufgabenblätter:

Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5

Serie 6 Serie 7 Serie 8 Serie 9 Serie 10