Jens Heber

Kurven und Flächen im Sommersemester 2012

Veranstalter: Prof. Dr. J. Heber

 

Vorlesungsinhalte:

In der Differentialgeometrie werden Kurven und Flächen im Raum (später auch höherdimensionale Verallgemeinerungen) mit Methoden der Differential- und Integralrechnung untersucht. Im Mittelpunkt des Interesses steht hierbei das Wechselspiel zwischen der Geometrie im Kleinen, die sich durch berechenbare Krümmungsgrößen beschreiben lässt, und der Geometrie im Großen, also der globalen Gestalt einer Kurve oder Fläche.

Ziel dieser Vorlesung ist eine Einführung in die zentralen Krümmungsbegriffe der Differentialgeometrie und ihre Anwendungen. Im Falle von Flächen sind dies die mittlere Krümmung und die Gauß-Krümmung:

Zum Beispiel sind Minimalflächen (in eine Drahtschlinge eingespannte Seifenhäute) charakterisiert durch mittlere Krümmung Null. Sie lassen sich mit Methoden der Funktionentheorie komplexer Veränderlicher mathematisch beschreiben.

Die Gauß-Krümmung bestimmt die Trigonometrie auf einer Fläche: Verbindet man drei Punkte auf kürzestem Wege durch Kurven innerhalb der Fläche (''Geodätische''), so weicht die Winkelsumme des entstehenden Dreiecks im Allgemeinen von π ab; die Differenz ist genau das Produkt aus Flächeninhalt und Mittelwert der Gauß-Krümmung im Dreieck (Satz von Gauß-Bonnet). Die Gauß-Krümmung lässt sich allein durch Längenmessungen innerhalb der Fläche ermitteln (Gaußsches ''Theorema egregium''); als Konsequenz ergibt sich zum Beispiel die prinzipielle Unmöglichkeit einer längentreuen Kartographie der Erdoberfläche.

Die Differentialgeometrie hat enge Bezüge zur Physik. So liefert sie etwa den theoretischen Rahmen, die Sprache und Modelle für die Hamiltonsche klassische Mechanik oder Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie.

Modulbeschreibungen "Kurven und Flächen"

 

Literatur:

  • C. Bär: Elementare Differentialgeometrie. de Gruyter 2001.
  • M. P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Vieweg 1992.
  • J.-H. Eschenburg, J. Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen. Springer 2007.
  • W. Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie. Springer 1973.
  • W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg 2005.
  • B. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry. Academic Press 1983.
 

Aufgabenblätter: Blatt 01 Blatt 02 Blatt 03 Blatt 04 Blatt 05 Blatt 06 Blatt 07 Blatt 08 Blatt 09 Blatt 10