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SS 2009

Literatur zur Vorlesung

Auf dieser Seite werden einige der zur Vorbereitung der Vorlesung verwendeten Quellen aufgelistet. Die Liste wird im Laufe des Semesters noch etwas erweitert werden. Alle hier angegebenen Titel finden Sie in der Institutsbibliothek im zweiten Stock des mathematischen Seminars.

Allgemeines

Für ältere nicht zu spezielle algebraische Fragen sind die Grundlagentexte von Jacobson immer ein guter erster Anlaufpunkt:


N. Jacobson, Basic Algebra I, II, Freeman and Company.
N. Jacobson, Lectures in abstract Algebra I, Basic Concepts, Springer, Graduate Texts in Mathematics 30.
N. Jacobson, Lectures in abstract Algebra II, Linear Algebra, Springer, Graduate Texts in Mathematics 31.
N. Jacobson, Lectures in abstract Algebra III, Theory of fields and Galois theory, Springer, Graduate Texts in Mathematics 32.

Ein etwas älterer Text, der zumindest den körpertheoretischen Teil dieser Vorlesung abdeckt, ist der erste Band des Algebra Buchs von van der Waerden. Dieses Buch läßt sich auch sehr schön lesen, auch wenn man sich an den etwas ungewohnten Stil ein wenig gewöhnen muss.


B.L. van der Waerden, Algebra I, II, Springer.

Körpertheorie

Die (Anfänge der) Strukturtheorie von Körpern werden etwa behandelt in


S. Roman, Field Theory, Springer, Graduate Texts in Mathematics 158.
G. Karpilovsky, Field Theory, Marcel Dekker 1988.
D.J. Winter, The Structure of Fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics 16.

Das erste dieser beiden Bücher enthält insbesondere eine nette Darstellung der Galois Theorie. Insbesondere wird die Auflösbarkeit von Polynomen unabhägig von der Charakteristik besprochen. Im zweiten Buch werden auch einige eher ungewohnte Themen behandelt, beispielsweise die Frage welche abelschen Gruppen als multiplikative Gruppen von Körpern auftauchen.

Eine umfangreiche Diskussion der endlichen Körper finden Sie in


R. Lidl, H. Niederreiter, Finite Fields, Addison-Wesley.

Auflösbarkeit von Polynomen durch Radikale

Die folgenden beschäftigen sich mit Galois Theorie mit besonderen Schwerpunkt auf die Auflösungstheorie von Polynomen. Das Buch von Edwards ist leider etwas mühsam zu lesen. Der zweite Titel ist ein kommentierter Nachdruck des sogenannten Ikosaederbuchs, hier werden Galois Erweiterungen mit Galois Gruppe A5 und verwandte Fragen behandelt.


H.M. Edwards, Galois Theory, Springer, Graduate Texts in Mathematics 101.
F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder, herausgegeben von P. Slodowy, Birkhäuser 1993.

Wenn Sie an derartigen Fragen sehr interessiert sind, können Sie sich auch einmal die (alten) Algebra Bücher von Weber anschauen, dort finden Sie mehr über die Gleichung siebten Grades als Sie jemals für möglich gehalten haben. Die stehen allerdings inzwischen im Archiv der Bibliothek (im Keller).

Algebraische Unabhägigkeit und transzendente Zahlen

Die algebraische Theorie finden Sie in beinahe allen der oben aufgelisteten Bücher zur Körpertheorie. In den folgenden beiden Texten finden Sie Dinge wie die Transzendenz von e und Pi (über den rationalen Zahlen) und den Satz von Lindeman und Weierstrass. Das zweite Buch ist dabei ein recht allgemein angelegter, systematischer Zugang zur Theorie.


A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press.
A.B. Shidlovskii, Transcendental Numbers, de Gruyter Studies in Mathematics 12.

Algebraisch abgeschlossene Körper

Den Inhalt unseres §6 kann man sich im wesentlichen aus den oben genannten Texten zusammensuchen. Die explizite Klassifikation der algebraisch abgeschlossenen Körper finden Sie merkwürdigerweise häufiger in Büchern über Modeltheorie als in reinen Algebra Texten. Fast so wie wir es gemacht haben, finden Sie die Theorie in Abschnitt 4.2 des Buches


J.R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison Wesley 1984.

Die Originalquelle zu all diesen Dingen ist die unten genannte Arbeit von Steinitz (diese finden Sie im Zeitschriftenteil der Bibliothek). Diese Arbeit sollte bei Ihren derzeitigen Kenntnisstand schon durchaus verständlich sein. Einiges über die Automorphismen der komplexen Zahlen finden Sie in Kapitel III des gleich aufgelisteten Vorlesungsskripts nach H. Salzmann.


E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 137 (1910), 167-309.
H. Salzmann, Zahlbereiche 2, Vorlesung Tübingen, Wintersemester 1971/72.

Kardinalzahlen und Mächtigkeitsfragen

Eine der beliebtesten Quellen zu allgemeinen mengentheoretischen Fragen in naiver, also nicht axiomatischer, Behandlung ist das unten genannte Buch von Halmos. Das Buch von Ebbinghaus ist eine sehr schöne Einführung in die Mengenlehre, in der der axiomatische Rahmen dargestellt wird ohne gleich in excessive logische Details zu gehen. In beiden Büchern finden Sie gut lesbare Darstellungen wie Kardinalzahlen exakt definiert werden.


P.R. Halmos, Naive Set Theory, Springer, Undergraduate Texts in Mathematics.
H.D. Ebbinghaus, Einführung in die Mengenlehre, BI 1994.