Lösungen der Wellengleichung

Wie in der Vorlesung bemerkt, ist es günstiger sich die Lösungen

der Wellengleichung als sich zeitlich verändernde Graphen anzuschauen.

Da man dies nicht drucken kann, enthält diese Datei die verwendeten

Animationen als GIF Dateien.

>    varphi:=sin(n*x):psi:=a*sin(n*t/nu)+b*cos(n*t/nu):u:=varphi*psi;

u := sin(n*x)*(a*sin(n*t/nu)+b*cos(n*t/nu))

>    nu:=1:a:=1/2:b:=-1/2:u;

sin(n*x)*(1/2*sin(n*t)-1/2*cos(n*t))

Die Grundschwingung n=1

>    with(plots):n:=1:animate(plot, [u, x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

Erste und zweite Oberschwingung, n=2 und n=3

>    n:=2:animate(plot, [u, x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

>    n:=3:animate(plot, [u,x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

Überlagerung der ersten 4 Grundschwingungen

>    n:='n':u4:=subs(n=1,u)+subs(n=2,u)+subs(n=3,u)+subs(n=4,u);

u4 := sin(x)*(1/2*sin(t)-1/2*cos(t))+sin(2*x)*(1/2*sin(2*t)-1/2*cos(2*t))+sin(3*x)*(1/2*sin(3*t)-1/2*cos(3*t))+sin(4*x)*(1/2*sin(4*t)-1/2*cos(4*t))

>    animate(plot, [u4, x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

>    u8:=u4+subs(n=5,u)-subs(n=7,u)+subs(n=8,u);

u8 := sin(x)*(1/2*sin(t)-1/2*cos(t))+sin(2*x)*(1/2*sin(2*t)-1/2*cos(2*t))+sin(3*x)*(1/2*sin(3*t)-1/2*cos(3*t))+sin(4*x)*(1/2*sin(4*t)-1/2*cos(4*t))+sin(5*x)*(1/2*sin(5*t)-1/2*cos(5*t))-sin(7*x)*(1/2*si...
u8 := sin(x)*(1/2*sin(t)-1/2*cos(t))+sin(2*x)*(1/2*sin(2*t)-1/2*cos(2*t))+sin(3*x)*(1/2*sin(3*t)-1/2*cos(3*t))+sin(4*x)*(1/2*sin(4*t)-1/2*cos(4*t))+sin(5*x)*(1/2*sin(5*t)-1/2*cos(5*t))-sin(7*x)*(1/2*si...

Zwei weitere Überlagerungen mit 7 beziehungsweise 50 Summanden

>    animate(plot, [u8, x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

>    uN:=Sum(subs(n=i, u),i=1..N);

uN := Sum(sin(i*x)*(1/2*sin(i*t)-1/2*cos(i*t)),i = 1 .. N)

>    N:=50:animate(plot, [uN, x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

Summe von 20 Grundschwingungen ohne gemeinsame Teiler

>    liste:=[1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67];

liste := [1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67]

>    uL:=Sum(subs(n=liste[i],u),i=1..20);

uL := Sum(sin([1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67][i]*x)*(1/2*sin([1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67][i]*t)-1/2*cos([1, 2,...
uL := Sum(sin([1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67][i]*x)*(1/2*sin([1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67][i]*t)-1/2*cos([1, 2,...

>    animate(plot, [uL, x=0..Pi], t=0..4*Pi,frames=100);

[Maple Plot]

Modifizierter Cosinus Term.

Bisher hatten wir die Konstanten vor Sinus und Cosinus immer als 1/2 und -1/2 gewählt.

Nun wollen wir den Koeffizienten vor dem Cosinus mit wachsenden n kleiner werden lassen.

Dies vermindert den starken Ausschlag nahe x=0 zur Zeit t=0.

>    b:='b':N:='N':uN:=Sum(subs({n=i,b=1/(i+1)}, u), i=1..N);

uN := Sum(sin(i*x)*(1/2*sin(i*t)+1/(i+1)*cos(i*t)),i = 1 .. N)

>    N:=20:animate(plot, [uN, x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

>    N:=50:animate(plot, [uN, x=0..Pi], t=0..4*Pi, frames=100);

[Maple Plot]

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