Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Sommersemester 2002

Organisatorisches

Veranstaler: Hauke Klein
Vorlesungstermine: Mo, Mi 14-16
Hörsaal: LMS4-R.424
Übungen: Zeit: Freitag 13.30-15.00
Raum: LMS4-R.116
Skript: Download

Diese Vorlesung setzt inhaltlich direkt auf den Grundstudiumsvorlesungen Analysis I-III und Lineare Algebra I, II auf, und kann daher ab dem vierten Semester gehört werden. So wie das Konzept eines metrischen Raums einen begrifflichen Rahmen liefert, in dem Dinge wie Konvergenz und Stetigkeit behandelt werden können, sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten Strukturen in denen man von Ableitungen, Integralen und all diesen Dingen sprechen kann. Wie im Vorlesungskommentar erwähnt sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten die grundlegenden Strukturen für viele Bereiche der Mathematik.

Es wird voraussichtlich ein Skript geben, dass man dann über diese Seite erhalten kann. Zur Zeit ist für den Anfang der Vorlesung der folgende Ablauf geplant:

§1 Einleitung

In diesem Abschnitt wiederholen wir einige der benötigten Grundkenntnisse aus den Vorlesungen Analysis I und II, und untersuchen Beispiele von Untermannigfaltigkeiten des Rn. Hier wird noch keine allgemeine Theorie angestrebt, da wir diese dann später im allgemeineren Rahmen behandeln werden.

§2 Topologische Mannigfaltigkeiten

Die Einführung des Begriffs einer abstrakten, differenzierbaren Mannigfaltigkeit erfolgt bei uns in zwei Schritten. So wie auch in Analysis I zuerst Begriffe wie Konvergenz und Stetigkeit, und erst dann Differenzierbarkeit behandelt werden, definieren wir zuerst topologische Mannigfaltigkeiten, die dann für den Stetigkeitsaspekt zuständig sind. Bei der Gelegenheit werden auch Dinge wie Zusammenhang und Kompaktheit wiederholt.

§3 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Damit steht dann alles bereit, um abstrakte, differenzierbare Mannigfaltigkeiten zu definieren. Weiter führen wir viele der fundamentalen Begriffe, wie Partitionen der Eins, Tangentialräume, Ableitungen und so weiter hier ein, und beweisen die grundlegenden Sätze.

§4 Reguläre Werte und Transversalität

Wir kehren zu den Beispielen des §1 zurück, und untersuchen die dortigen Phänomene im allgemeinen Rahmen. Damit stehen dann auch viele Möglichkeiten bereit, einfach Beispiele zu konstruieren.

§5 Vektorfelder

Vektorfelder sind eines der zentralen technischen Hilfsmittel in der Theorie. Ausserdem bieten sie eine gute Gelegenheit die manchmal etwas ungeliebte Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, einmal im Einsatz zu erleben. Als etwas weitergehende Sätze wollen wir hier auch Integralmannigfaltigkeiten und den Satz von Frobenius behandeln.

Der weitere Ablauf steht noch nicht fest. Es existiert eine reichhaltige Literatur über differenzierbare Mannigfaltigkeiten, und darauf aufbauende Themen. Ich plane, für diese Vorlesung hauptsächlich die folgenden Bücher zu verwenden.