Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist im wesentlichen ein Raum, der im kleinen so wie ein Rn aussieht, und in dem man Differential- und Integralrechnung betreiben kann. Ein Beispiel ist die Oberfläche S einer Kugel im R3. Setzen wir uns auf einen Punkt von S, so sieht in der Gegend dieses Punktes alles so wie in der Ebene R2 aus. Ein etwas ungewohnteres Beispiel wäre die Menge aller Geraden im R3, die durch Null gehen. Fixieren wir eine solche Gerade l sowie einen Punkt p auf l, verschieden von Null, und bilden die auf l senkrechte Ebene E durch p, so schneidet jede Gerade in der Nähe von l die Ebene E in genau einem Punkt, d.h. wir können die Geraden in der Nähe von l mit ihren Schnittpunkten auf E identifizieren, und im Kleinen sieht die Menge der Geraden in der Nähe von l damit genau wie die Ebene E aus.

Diese Vorstellung muss dann noch präzisiert werden, d.h. wir müssen wirklich sagen was mit Dingen wie "im Kleinen" oder "sieht aus wie der Rn" genau gemeint ist. Dies ergibt dann den Begriff einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, der das zentrale Thema dieser Vorlesung ist. Die Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Grundlage für viele wichtige Gebiete innerhalb der Mathematik. Zum Beispiel werden für die folgenden Themenkreise regelmässig Vorlesungen angeboten:

Natürlich ist es nicht unbedingt notwendig für das Verständnis obiger Vorlesungen eine Vorlesung über allgemeine differenzierbare Mannigfaltigkeiten gehört zu haben, aber es kann sehr hilfreich sein.

Inhaltlich setzen wir direkt auf den Grundstudiumsvorlesungen Analysis I-III und Lineare Algebra I,II auf. Damit ist die Vorlesung für Studenten ab dem vierten Semester gut geeignet. Eine ausführlichere Beschreibung des Inhalts der Vorlesung sowie Literaturlisten und ähnliches finden Sie auf der Homepage dieser Vorlesung.