Geometrie II (Sommersemester 2001)

Organisatorisches

Veranstaler: Hauke Klein

Vorlesungstermine: Di, Do 9-11

Hörsaal: Di: K (vierter Stock)
Do: G (grosser Hörsaal)

Skript Download

Diese Vorlesung setzt die Vorlesung Geometrie I aus dem Wintersemester 2000/2001 fort. Die Themen dieses ersten Teils sind weitgehend standardisiert, während der Inhalt des zweiten Teils stark vom jeweiligen Veranstalter abhängt. Insbesondere macht es durchaus Sinn Geometrie II zu besuchen, selbst wenn man den ersten Teil noch nicht gehört hat.

Wie im Vorlesungskommentar erwähnt können Sie zur Orientierung das Skript zu Geometrie I oder die im Aufbau befindlichen Informationsseiten zur Inzidenzgeometrie verwenden.

Auch für diese Vorlesung existiert ein Skript. Zur Zeit allerdings nur bis zum ungefähren Stand der Vorlesung und in Einzelkapitel aufgeteilt.

Die Vorlesung Geometrie II soll sich in diesem Semester hauptsächlich mit der Theorie topologischer projektiver Ebenen beschäftigen. Der Startpunkt dieser Theorie ist das Studium der vier klassischen projektiven Ebenen, d.h. der Ebenen über den Körpern der reellen und komplexen Zahlen, dem Schiefkörper der Quaternionen und dem Alternativkörper der Oktaven. All diese Ebenen tauchen in vielerlei Zusammenhängen immer wieder auf, selbst die zunächst etwas exotische Oktavenebene begegnet einem sogar in der Physik.

Momentan ist für die Vorlesung der folgende Ablauf geplant. Zur Zeit ist dies noch ein erster Entwurf, und muss nicht unbedingt mit der späteren Realität übereinstimmen.

§1 Einleitung

Eine kleine begriffliche Einordnung. Dieser Abschnitt hat mit dem Rest der Vorlesung eigentlich nichts zu tun, und kann auch ignoriert werden.

§2 Topologische projektive Ebenen

Der Begriff einer topologischen projektiven Ebene wird definiert, und es werden die wenigen Aussagen gezeigt, die man über derart allgemeine Strukturen beweisen kann.

§2A Topologie

Eine kurze Zusammenstellung der benötigten topologischen Grundbegriffe für §2.

§3 Desarguesche topologische projektive Ebenen

Dieses Kapitel behandelt die Bestimmung der desargueschen topologischen projektiven Ebenen. Ist E ein dreidimensionaler Vektorraum über einem topologischen Schiefkörper K, so machen wir die projektive Ebene über E zu einer topologischen projektiven Ebene. Hierzu führen wir allgemeiner eine Topologie auf der Grassman Varietät der k-dimensionalen Teilräume einen endlichdimensionalen Vektorraums E über einem topologischen Schiefkörper K ein. Dies ist dann später auch zur Behandlung von Translationsebenen nützlich.

§3A Quotiententopologien

Dieser kurze Anhang behandelt den Begriff einer Quotiententopologie, der bei der Konstruktion der Grassman Varietäten benötigt wird.

§4 Lokalkompakte topologische projektive Ebenen

In diesem Abschnitt spezialisieren wir uns auf den lokalkompakten Fall, und kommen dann zur wichtigsten Situation zusammenhängender, kompakter topologischer projektiver Ebenen. Wir zeigen, dass lokalkompakte topologische projektive Ebenen separable metrische Räume sind. Weiter sind Punkt- und Geradenraum einer zusammenhängenden, kompakten projektiven Ebene beides Peano Kontinua.

§4A Lokalkompakte Räume

Zusammenstellung einiger benötigter Tatsachen zur Topologie lokalkompakter Räume.

§4B Faserbündel

Wir führen den Begriff eines (lokal trivialen) Faserbündels ein, und beweisen die Sätze die in §4 und §5 benötigt werden. Insbesondere klassifizieren wir alle Faserbündel über der Kreislinie S¹.

§4C Lokalkompakte topologische Schiefkörper

Eine kleine Übersicht über die Klassifikation der lokalkompakten topologischen Schiefkörper.

§5 Zweidimensionale kompakte projektive Ebenen

In diesem Paragraphen wird die Topologie zweidimensionaler projektiver Ebenen untersucht. Insbesondere zeigen wir, dass Punkt und Geradenraum dieser Ebenen stets homöoomorph zur reellen projektiven Ebene sind.

§5A Topologische Dimension

Dieser Anhang führt den Begriff der Dimension eines topologischen Raums ein, und es werden die Grundeigenschaften der Überdeckungsdimension bewiesen. Weiter geben wir einige darüber hinausgehende, von uns benötigte, Tatsachen an.

§6 Kollineationen topologischer projektiver Ebenen

In diesem Abschnitt untersuchen wir die Kollineationsgruppe einer zweidimensionalen kompakten projektiven Ebene, und beweisen einige Kennzeichnungen der desargueschen Ebene. Die weitere Klassifikation dieser Ebenen wird kurz vorgestellt, aber nicht weiter diskutiert.