Geometrie II

Diese Vorlesung ist die Fortsetzung der Vorlesung Geometrie I aus dem letzten Wintersemester. Es ist gut möglich, erst mit dieser Vorlesung einzusteigen. Während der erste Teil der Vorlesung sich mit sehr allgemeinen geometrischen Strukturen beschäftigt hat, werden im zweiten Teil deutlich speziellere Geometrien studiert. Konkret werden wir Fragen der sogenannten topologischen Geometrie behandeln.

Das Urbeispiel einer solchen Geometrie ist die reelle affine Ebene, d.h. der zweidimensionale Standardvektorraum über den reellen Zahlen, versehen mit den gewöhnlichen Geraden. Die Punktmenge ist dann ein topologischer Raum, ja sogar ein metrischer Raum versehen mit der normalen euklidischen Metrik. Auch die Menge aller Geraden läßt sich in natürlicher Weise zu einem topologischen Raum machen, dabei stellt sich heraus, daß dieser Geradenraum homöomorph zu einem Möbiusband ist. Weiter läßt sich zeigen, daß die Abbildung, die je zwei verschiedenen Punkten ihre Verbindungsgerade zuordnet, stetig ist. Ebenso sind die anderen geometrischen Operationen, also das Schneiden nicht paralleler Geraden und das Bilden der Parallelen durch einen Punkt stetig.

Die topologische Geometrie handelt von derartigen Situationen, d.h. betrachtet werden Geometrien auf denen Topologien gegeben sind so, daß die geometrischen Operationen stetig sind. Dies ist eine erstaunlich starke Bedingung, zum Beispiel läßt sich zeigen, daß die (topologische) Dimension einer endlichdimensionalen, kompakten, zusammenhängenden projektiven Ebene stets 2, 4, 8 oder 16 ist. All diese Dimensionen treten auch auf. Das Hauptinteresse gilt den besonders homogenen Geometrien, d.h. Geometrien, deren Automorphismengruppe G groß ist. Für viele Fälle läßt sich beweisen, daß G eine Lie Gruppe ist, und "groß" kann so interpretiert werden, daß G eine große Dimension hat.

An Vorkenntnissen ist viel weniger nötig, als all dies vermuten läßt. Von Topologie müssen Sie nicht viel wissen, es reicht weitgehend der Stoff des Grundstudiums, also das Sie wissen was offene und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum sind, und eine ungefähre Vorstellung von Begriffen wie kompakt und zusammenhängend haben.

Lie Gruppen werden wir im Verlauf der Vorlesung diskutieren, soweit dies nötig ist. Auch falls Sie zufällig schon etwas mit diesem Begriff anfangen können, gibt die topologische Geometrie eine schöne Möglichkeit diese Objekte im täglichen Leben bewundern zu können, und dabei auch mitzukriegen, warum Lie Gruppen eigentlich so gut sind.

Die nötigen geometrischen Grundbegriffe werden wir zu Beginn der Vorlesung kurz wiederholen. Im weiteren Verlauf wird man dann nur gelegentlich Ergebnisse aus Geometrie I benötigen, und auch dann in der Regel nur als Black Box. Zur Orientierung können Sie zum Beispiel das Skript zu Geometrie I verwenden. Wie gesagt enthält dieses allerdings viel mehr Stoff als für Geometrie II benötigt. Unter

http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/math/geometry.html

finden Sie eine kleine übersicht über einige der Grundbegriffe und wichtigsten Sätze. Genauere Angaben zur Geometrie II Vorlesung befinden sich auf der Homepage der Geometrie II Vorlesung.