Liegruppen, Wintersemester 2002/2003

Organisatorisches

Veranstaler: Hauke Klein
Vorlesungstermine: Di, Mi 16-18
Hörsaal: Ü, Raum 526
Skript: Download

Eine Liegruppe ist eine topologische Gruppe, deren Einselement eine offene Umgebung U besitzt, die zu einer offenen Menge des Rn homöomorph ist, wobei die Gruppenmultiplikation durch diesen Homöomorphismus in einer differenzierbare Abbildung transformiert wird. Etwas vornehmer kann man auch sagen, dass es sich um eine Gruppe handelt, die zugleich eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, und die Gruppenmultiplikation differenzierbar ist. Erste Beispiele wurden schon im Vorlesungskommentar angedeutet. An Vorkenntnissen benötigen Sie nur den Stoff des Grundstudiums, alle darüber hinausgehenden Dinge werden wir in der Vorlesung behandeln. Insbesondere ist es nicht nötig zu wissen was eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Es wird voraussichtlich ein Skript geben, dass man dann über diese Seite erhalten kann. Zur Zeit ist für den Anfang der Vorlesung der folgende Ablauf geplant:

§1 Topologische Gruppen

Topologische Gruppen sind Gruppen die mit einer Topologie versehen sind, die mit der Gruppenstruktur zusammenpasst, d.h. Multiplikation und Inversenbildung sollen stetige Abbildungen sein. Die topologischen Gruppen bilden einen allgemeinen Rahmen unserer Theorie, und wir werden uns auf die Aspekte beschränken die im Zusammenhang mit Liegruppen von Interesse sind.

§2 Liegruppen

In diesem Abschnitt führen wir die Liegruppen ein. Hier wird noch keine Theorie angestrebt sondern wir diskutieren einige Beispiele, hauptsächlich Gruppen reeller Matrizen.

§3 Liealgebren und die Exponentialabbildung

Durch einen Ableitungsprozess erhalten wir Liealgebren als lineare Näherung einer Liegruppe. Der Zusammenhang zwischen Liegruppe und Liealgebra ist sehr eng, und das Haupthilfsmittel diesen Zusammenhang zu beschreiben ist die sogenannte Exponentialabbildung. Hiermit wird uns dann der Kern des Liekalküls zur Verfügung stehen.

§4 Die Hauptsätze der Lietheorie

In diesem Abschnitt können wir das Verhältnis von Liegruppen zu Liealgebren endgültig überblicken. Es wird sich herausstellen, dass wirklich jede endlichdimensionale reelle Liealgebra als Liealgebra einer Liealgebra einer Liegruppe auftritt, das jede Liegruppe lokal zu einer Matrixgruppe isomorph ist, und viele andere spannende Dinge.

Der weitere Ablauf steht noch nicht fest. Es existiert eine reichhaltige Literatur über Liegruppen und darauf aufbauende Themen. Ich plane, für diese Vorlesung hauptsächlich die folgenden Bücher zu verwenden.