Liegruppen

Eine Liegruppe ist eine Gruppe, die sich in der Nähe des neutralen Elements durch reelle Koordinaten beschreiben läst so, dass die Gruppenmultiplikation in diesen Koordinaten differenzierbar ist. Erste Beispiele sind die additiven Gruppen (Rn,+) selbst. Es gibt auch einfache nichtkommutative Beispiele, etwa die folgende Gruppenmultiplikation auf dem R2

(t,s)*(u,v) = (t+u,s+etv).

In all diesen Beispielen haben wir sogar auf der ganzen Gruppe reelle Koordinaten, bezüglich derer die Gruppenmultiplikation differenzierbar ist. Ein Beispiel mit nur lokalen Koordinaten ist die multiplikative Gruppe T der komplexen Zahlen von Betrag 1. In der Nähe von 1 können wir diese durch exp(it) beschreiben, und die Gruppenmultiplikation wird wegen exp(it)exp(is)=exp(i(t+s)) in diesen Koordinaten zur Addition t+s, zumindest nahe bei 1.

Die Theorie der Liegruppen hat ihren Ursprung im 19ten Jahrhundert, und wurde von Sophus Lie ursprünglich aus zwei verschiedenen Motivationen heraus entwickelt. Zum einen schwebte Lie eine Galoistheorie für Differentialgleichungen vor, den Platz der Galoisgruppe nimmt dabei die Gruppe der Koordinatentransformationen ein, die die gegebene Gleichung invariant lassen. Zum anderen sollten die Liegruppen als das stetige Gegenstück zu den diskreten Gruppen in den Grundlagen der Geometrie verwendet werden. Diese beide Aspekte sind inzwischen allerdings eher zu Randgebieten geworden.

Der Kalkül der Liegruppen ist inzwischen zur Grundlage für viele ausgedehnte Teile der Mathematik geworden. Sehr viele der natürlich auftretenden Gruppen sind von Hause aus Liegruppen. All die Matrixgruppen über den reellen und komplexen Zahlen sind beispielsweise Liegruppen. In einem gewissen Sinne ist jede lokalkompakte Gruppe, die nicht zu riesig ist, eine Liegruppe. Konkret kann man beweisen, dass eine endlichdimensionale, lokalkompakte und lokalzusammenhängende Gruppe bereits eine Liegruppe ist, was allerdings ausserhalb des Rahmens der Vorlesung liegt.

Dies gibt vielleicht eine Ahnung warum Liegruppen wichtig sind, aber wieso ist das überhaupt gut? Hier kommt die verlangte Differenzierbarkeit ins Spiel, wir können die Gruppenoperation, beziehungsweise eigentlich eher die Konjugation, ableiten und erhalten eine lineare Approximation der Gruppenstruktur. Es stellt sich heraus, dass diese Approximation eine sogenannte Liealgebra ist, d.h. ein endlichdimensionaler (reeller) Vektorraum versehen mit einer bilinearen Multiplikation, geschrieben als [x,y], die die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

Die Jacobi Identität kennen Sie vielleicht vom Vektorprodukt im R3, und tatsächlich tritt das Vektorprodukt als eine Liealgebra auf, nämlich als die Liealgebra der Drehgruppe SO3(R) des R3.

Über die linearen Approximation durch eine Liealgebra lassen sich viele Fragen über Liegruppen in die lineare Algebra überführen und dort auch lösen. Es stellt sich zum Beispiel heraus, dass die (vernünftigen) Untergruppe der Liegruppe den Unteralgebren der Liealgebra entsprechen, die Normalteiler entsprechen den sogenannten Idealen uns so weiter. Beispielsweise sieht man recht einfach, dass das Vektorprodukt im R3 keine zweidimensionalen Unteralgebren besitzt, und dies übersetzt sich dann in die Tatsache, dass die Drehgruppe SO3(R) keine zweidimensionalen Untergruppen hat.

Die systematische Untersuchung des Zusammenspiels von Liegruppe und Liealgebra wird das wesentliche Thema der Vorlesung bilden. Eine genauere Angabe des geplanten Inhalts können Sie ab dem Juli der Homepage der Vorlesung unter

http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/vorlesungen/lie/index.html

entnehmen.