Rolf Farnsteiner

Seminar

Dozent: Rolf Farnsteiner

Termin: Do, 14:30-16:00, LMS4 - R.526

Das Seminar richtet sich an Studierende der B.Ed.- und B.Sc-Studiengänge. Ziel des Seminars ist es, den Teilnehmern einen Einblick in die Grundlagen der Darstellungstheorie assoziativer Algebren zu geben. Eine Motivation dieser Theorie lag in Entwicklung von Methoden zur Lösung algebraischer Gleichungen durch quadratische Matrizen. Aus der Linearen Algebra kennt man den Spezialfall Xn=0, der mittels Jordanscher Normalformen behandelt wird. Aus darstellungstheoretischer Sicht handelt es sich hierbei um die Bestimmung der sogenannten unzerlegbaren Moduln der Algebra K[T]/(Tn), wobei K ein Körper und T eine Unbestimmte über K ist.  

Interessenten, die einen Vortrag halten möchten, melden sich bitte per E-mail mit Angabe des Themas bei Rolf Farnsteiner.

 


 

Online-Format

Augrund der Einschränkungen des Präsenzbetriebs der Universität wird das Seminar bis auf Weiteres im Online-Betrieb abgehalten. Während des Semesters kann die Universitätsleitung kurzfristig die Rückkehr zum Präsenzbetrieb anordnen. Die im Folgenden beschriebene Vorgehensweise dient daher drei Zielen: 1. Die Leistungen im Online- und Präsenzbetrieb sollten vergleichbar sein. 2. Der Aufwand beider Betriebsformen sollte für die Vortragenden in etwa gleich sein. 3. Die Rückkehr zum Präsenzbetrieb sollte für Sie unproblematisch sein.

Jeder von Ihnen würde im Normalfall schriftliche Notizen als Grundlage des Vortrags anfertigen. Ich habe mich daher für folgenden Modus entschieden:

  • Bitte reichen Sie Ihre Vortragsausarbeitungen schriftlich bei mir per e-mail spätestens zum unten aufgeführten Datum Ihres Vortrags bei mir ein. Die Ausarbeitung muss nicht getippt sein, es genügt ein scan oder ein Bild Ihrer leserlichen handschriftlichen Aufzeichnungen. Hilfreich wäre in jedem Fall, wenn Sie mir eine pdf-Datei zukommen lassen würden.
  • Ich werde Ihre Aufzeichnungen durchlesen und mich dann mit jedem bzw. jeder von Ihnen zu einem Online-Interview mit zoom verabreden. Während des Interviews werde ich Fragen zu Ihren Aufzeichnungen stellen, wie ich (oder andere Teilnehmer) dies während des Vortrags auch tun würden. Sie erhalten damit die Gelegenheit zu Klarstellungen bzw. ggf. zu Korrekturen von Fehlern. Am Beginn des Interviews werde ich Ihre Identität überprüfen, bitte halten Sie Ihren Studentenausweis bereit.

 


 

Literatur

K. Erdmann, T. Holm: Algebras and Representation Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer Verlag, 2018.


 

Voraussetzungen

Lineare Algebra I, II sowie Algebra I. Es werden lediglich Grundkenntnisse über Vektorräume und Ringe vorausgesetzt

 


 

Vorträge

Ein Seminarvortrag sollte den Seminarteilnehmern die wesentlichen Aspekte des jeweiligen Themas erläutern. Es genügt daher nicht, den Text ins Deutsche zu übersetzen und beispielsweise Dinge als "offensichtlich" deklarieren, die im Text als "obvious" bezeichnet sind. Ein guter Vortrag würde folgende Kriterien erfüllen:

  • eigene Beispiele
  • Details zu Beweisen, die dem(r) Vortragenden nicht hinreichend detailliert erscheinen
  • sinnvolle Auswahl des Materials (viele Themen können nicht in 90 Minuten vollständig vorgestellt werden)
  • sofern erforderlich, Bereitstellung der grundlegenden Sätze, deren Aussagen im Vortrag benutzt werden.

 

Die mit dem Zusatz (LAG) versehenen Vorträge werden an Studierende des B.Ed.-Studiengangs vorrangig vergeben. 


 

Vortragsplan (vorläufig)

Vortrag Abschnitte Name Datum
  1. Assoziative Algebren, Divisionsalgebren (LAG) Seiten 1-5   entfällt
  2. Gruppenalgebren, Wegealgebren, Unteralgebren, Faktoralgebren (LAG) Seiten 6-13 Hendrik Bosse 23.04.
  3. Algebren kleiner Dimension (LAG) 1.4   entfällt
  4. Moduln: Definition und Beispiele (LAG) 2.1, 2.2 Alexandra Neumann 30.04.
  5. Darstellungen von Algebren und Gruppen (LAG) 2.5 (Seiten 47-53)   entfällt
  6. Darstellungen von Köchern und Wegealgebren (LAG) 2.5.2   entfällt
  7. Einfache Moduln Seiten 61-66 oben Anton Schellin 07.05.
  8. Der Satz von Jordan-Hölder und Moduln endlicher Länge Seiten 66-71 Philipp Friese 14.05.
  9. Einfache Moduln für Wegealgebren und direkte Produkte 3.4.2, 3.4.3 Petter Mildner 28.05.
10. Das Lemma von Schur und halbeinfache Moduln  3.5+S.85-88 oben. Lukas Johannsen 11.06.
11. Halbeinfache Algebren S.91-96 Tim Beckmann 18.06.
12. Der Satz von Artin-Wedderburn S.106-110 oben Nils Thiesen 25.06.
13. Gruppenalgebren endlichen Darstellungstyps S.143-152 oben Sven-ole Behrend 02.07.

 


 

Kommentare:

  • Vortrag 1: Hier sollte die in Definition 1.7 erwähnte Aufgabe 1.8 ausgeführt werden. Bei der Diskussion der Algebra der Hamiltonschen Quaternionen sollte noch überlegt wetrden, dass es keine kommutative Divisionsalgebra der Dimension n>1 über den komplexen Zahlen gibt.
  • Vortrag 2: In diesem Vortrag stehen Wegealgebren im Vordergrund. Insofern sollten bei einigen der aufgeführten Beispielen von Köchern, wie etwa dem Kronecker Köcher, die Dimensionen der Wegealgebren berechnet werden. Die Diskussion der Faktoralgebren kann verkürzt werden. Wichtig ist, dass Ideale K-Unterräume einer K-Algebra A sind.  
  • Vortrag 3: Die Übungen 1.26 und 1.27 sollten in den Vortrag integriert werden. Der Hinweis auf andere Typen von Algebren kann weggelassen werden.
  • Vortrag 4: Proposition 2.9 sollte genau diskutiert werden, weil hier ein neuer Blickwinkel auf Themen der Linearen Algebra hergestellt wird.
  • Vortrag 5: Für das Folgende sind 2.33 und 2.36 wichtig. Die weiteren Resultate können knapper abgehandelt werden.
  • Vortrag 6: Proposition 2.46 sollte detailliert vorgestellt werden, insbesondere Teil (c), der dem Leser überlassen wird. 
  • Vortrag 7: In der Definition eines einfachen Moduls V sollte man im Gegensatz zum Text "V ungleich {0}" voraussetzen.
  • Vortrag 8: Am wichtigsten ist der Beweis des Satzes von Jordan-Hölder. 
  • Vortrag 9: Hierbei ist 3.4.2 wichtiger als 3.4.3. Ein Beispiel für ein Produkt zweier Algebren ist die Wegealgebra eines Köchers Q, dessen zugrundeliegender Graph zwei Zusammenhangskomponenten hat. 
  • Vortrag 10: Wichtig ist der Beweis von Theorem 4.3, welches wir nur für endlichdimensionale Moduln benötigen.
  • Vortrag 11:
  • Vortrag 12: Wichtig sind die Beweise von 5.4, 5.6 und 5.7, wobei 5.4 kurz gehalten werden kann.