Rolf Farnsteiner

Seminar über Lie-Theorie (M.Sc.)

Dozent: Rolf Farnsteiner

Termin: Do, 14:15 - 15:45 in LMS 4, Raum 424 (Das erste Treffen findet am 13.04.2017 statt.)

Das Seminar richtet sich an Studierende im Master-Studiengang. Ziel des Seminars ist es, den Teilnehmern einen Einblick in die Struktur- und Darstellungstheorie von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen zu geben. Interessenten, die einen Vortrag halten möchten, melden sich bitte mit Angabe des Themas bei Daniel Bissinger und Rolf Farnsteiner.

 


 

Literatur

  • [Hu80] J. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics 9, Springer-Verlag, 1980. 
  • [Hu81] J. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Graduate Texts in Mathematics 21, Springer-Verlag, 1981. 
  • [Ja03] J. Jantzen: Representations of Algebraic Groups. Mathematical Surveys and Monographs 107, Amer. Math. Soc., 2003.
  • [Sp81] T. Springer: Linear Algebraic Groups. Progress in Mathematics 9, Birkhäuser-Verlag, 1981.
  • [Wa] W. Waterhouse: Introduction to Affine Group Schemes. Graduate Texts in Mathematics 66, Springer-Verlag 1979.

 

 


 

Voraussetzungen

Grundkenntnisse über Lie-Algebren und algebraische Gruppen.

 


 

Vorträge

Ein Seminarvortrag sollte den Seminarteilnehmern die wesentlichen Aspekte des jeweiligen Themas erläutern. Es genügt daher nicht, den Text ins Deutsche zu übersetzen und beispielsweise Dinge als "offensichtlich" deklarieren, die im Text als "obvious" bezeichnet sind. Ein guter Vortrag würde folgenden Kriterien erfüllen:

  • eigene Beispiele
  • Details zu Beweisen, die dem(r) Vortragenden zu oberflächlich erscheinen
  • sinnvolle Auswahl des Materials (viele Themen können so nicht in 90 Minuten vollständig vorgestellt werden)
  • sofern erforderlich Bereitstellung der grundlegenden Sätze, deren Aussagen im Vortrag benutzt werden.

 


 

Vortragsplan

Vortrag Abschnitte Name Datum
1. Höchstgewichtsmoduln §§ 20.1-20.3 aus [Hu80]   13.04.17
2. Endlichdimensionale Moduln §§ 21.1-21.4 aus [Hu80]   20.04.17
3. Die Charakterformel von Weyl § 24.3 aus [Hu80]   27.04.17
4. Der Borelsche Fixpunktsatz §7.2 aus [Sp81]   04.05.17
5. Der Satz von Lie-Kolchin und Borel-Untergruppen §17.6, §21.3 aus [Hu81]   11.05.17
6. Die Lie-Algebra einer algebraischen Gruppe §9 aus [Hu81] Jan-Niclas Thiel 18.05.17
    Himmelfahrt     25.05.17
7. Die adjungierte Darstellung  §§10.3, 10.4 aus [Hu81] Benedikt Karrasch 01.06.17
    Exkursionswoche     08.06.17
8. Gruppenschemata und Hopf-Algebren §§1.2-1.5 aus [Wa79] Malte Frömming 15.06.17
9. Moduln und Komoduln §§I.2.13-I.2.14 aus [Ja03] Benedikt Karrasch 13.07.17
10. Frobeniuskerne §§I.9.4-I.9.8 aus [Ja03]    

 

Hinweis: Es gibt inzwischen eine Vielzahl von Büchern über Lie-Algebren und algebraische Gruppen. Die vorgegebenen Texte dienen dazu, die Themen einzugrenzen. Natürlich können weitere Bücher hinzugezogen werden.  


 

Kommentare:

  • Vortrag 1: Hier sollten auch Gewichtsräume der Verma-Moduln Z(lambda) (Ex.5) sowie das Beispiel sl(2) (Ex.4) diskutiert werden.
  • Vortrag 2: Hier sollten Beispiele, wie etwa Lie-Algebren des Typs A_2 oder C_2 diskutiert werden.
  • Vortrag 3: Die Textvorlage ist kurz. Es geht hier um die Darstellung der Voraussetzungen, die Ableitung der Weylschen Dimensionsformel und die Diskussion von Beispielen.
  • Vortrag 4: Der Borelsche Fixpunktsatz sollte vorgestellt werden, zusammen mit seiner Anwendung auf parabolische Untergruppen. Die nötigen Voraussetzungen (Ideen) aus der algebraischen Geometrie sollten angesprochen werden (es wird nicht möglich sein, diese en detail zu beweisen. 
  • Vortrag 5: Der Satz von Lie-Kolchin sollte vorgestellt werden (er folgt aus dem Borelschen Fixpunktsatz). Darauf aufbauend sollten die Konjugationssätze für Borel-Untergruppen und maximale Tori diskutiert werden. 
  • Vortrag 6: Hier ist die Diskussion von Beispielen wichtig.  
  • Vortrag 8: Weitere Beispiele findet man in Jantzen's Buch [Ja03]
  • Vortrag 10: Hier sollte eine Auswahl getroffen werden. Wichtig sind die Definition von Frobeniuskernen sowie die Tatsache, dass manche Eigenschaften von Darstellungen auf hinreichend großen Kernen bestimmt sind.